7.3 区间估计

1 置信区间

• 不唯一性：$\alpha$ 确定后置信区间的选取方法不唯一，常选区间长度小的。
• 可靠性：$\alpha$ 反映了估计的可靠程度，$\alpha$ 越小，可靠程度越高。
• 估计精度：置信区间的长度反映了估计的精度。

2. 求置信区间的步骤

3. 正态总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 的置信区间

3.1 $\sigma^2$ 已知

枢轴量 $U=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$

$P(-\mu_{\alpha/2}<U<\mu_{\alpha/2})=1-\alpha$

3.2 $\sigma^2$ 未知

枢轴量 $T=\frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$ $P(-t_{\alpha/2}(n-1)<T<t_{\alpha/2}(n-1))=1-\alpha$

3.3 $\mu$ 已知

枢轴量 $U=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n)$ $P(\chi^2_{1-\alpha/2}(n)<U<\chi^2_{\alpha/2}(n))=1-\alpha$

3.4 $\mu$ 未知

枢轴量 $U=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$ $P\left(\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)<U<\chi^2_{\alpha/2}(n-1)\right)=1-\alpha$

4. 双正态分布的置信区间

当 $\sigma^2$ 不等时，标准化后的变量近似服从自由度为 $v$ 的 $t$ 分布

即

$$\frac{\overline{X_1}-\overline{X_2}-\mu_1+\mu_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}\sim t(v)$$

其中，自由度 $v$ 满足

$$v=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$

5. 单侧置信区间

6. 大样本置信区间

若总体 $X$ 的分布未知，但是 $n$ 充分大，由中心极限定理，可近似视为$\overline{X}\sim N(\mu,\sigma^2/n)$用正态分布近似。